中國數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展(2)
中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展
魏、晉時期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍它詰辯求勝，又能運用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國趙爽注《周髀算經(jīng)》，漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個時期。趙爽與劉徽的工作為中國古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。
趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在《周髀算經(jīng)》書中補充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個公式在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開創(chuàng)性的，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。
劉徽約與趙爽同時，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國時期名家和墨家的思想，主張對一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對數(shù)學(xué)知識必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡明嚴(yán)密，利于讀者。他的《九章算術(shù)》注不僅是對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為 157/50和 3927/1250。
劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2：1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。
東晉以后，中國長期處于戰(zhàn)爭和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們在劉徽注《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間提出祖(日恒)原理提出二次與三次方程的解法等。
據(jù)推測，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個分?jǐn)?shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國在圓周率計算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久
祖沖之之子祖(日恒)總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)應(yīng)用這個公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。
隋煬帝好大喜功，大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木工程中計算土方、工程分工、驗收以及倉庫和地窖的計算問題，反映了這個時期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時社會的需要，也為后來天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。
唐初封建統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書》，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試亦以這些算書為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書》，對保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對讀者是有幫助的。隋唐時期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。算籌是中國古代的主要計算工具，它具有簡單、形象、具體等優(yōu)點，但也存在布籌占用面積大，運籌速度加快時容易擺弄不正而造成錯誤等缺點，因此很早就開始進(jìn)行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點，優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時乘除算法仍然不能在一個橫列中進(jìn)行。算珠還沒有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒有普遍應(yīng)用。
唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計算增多，迫切要求改革計算方法，從《新唐書》等文獻(xiàn)留下來的算書書目，可以看出這次算法改革主要是簡化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個橫列中進(jìn)行運算，它既適用于籌算，也適用于珠算。
中國古代數(shù)學(xué)的繁榮
960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到廣泛應(yīng)用。1084年秘書省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書》，1213年鮑搟之又進(jìn)行翻刻。這些都為數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。
從11～14世紀(jì)約300年期間，出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，如賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉益的《議古根源》，秦九韶的《數(shù)書九章》，李冶的《測圓海鏡》和《益古演段》，楊輝的《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》等，很多領(lǐng)域都達(dá)到古代數(shù)學(xué)的高峰，其中一些成就也是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的高峰。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認(rèn)識上是一個飛躍，實現(xiàn)這個飛躍的就是賈憲。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”;在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。根據(jù)這些記錄可以確定賈憲已發(fā)現(xiàn)二項系數(shù)表，創(chuàng)造了增乘開方法。這兩項成就對整個宋元數(shù)學(xué)發(fā)生重大的影響，其中賈憲三角比西方的帕斯卡三角形早提出600多年。
把增乘開方法推廣到數(shù)字高次方程(包括系數(shù)為負(fù)的情形)解法的是劉益。《楊輝算法》中“田畝比類乘除捷法”卷，介紹了原書中22個二次方程和 1個四次方程，后者是用增乘開方法解三次以上的高次方程的最早例子。
秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《數(shù)書九章》中收集了21個用增乘開方法解高次方程(最高次數(shù)為10)的問題。為了適應(yīng)增乘開方法的計算程序，奏九韶把常數(shù)項規(guī)定為負(fù)數(shù)，把高次方程解法分成各種類型。當(dāng)方程的根為非整數(shù)時，秦九韶采取繼續(xù)求根的小數(shù)，或用減根變換方程各次冪的系數(shù)之和為分母，常數(shù)為分子來表示根的非整數(shù)部分，這是《九章算術(shù)》和劉徽注處理無理數(shù)方法的發(fā)展。在求根的第二位數(shù)時，秦九韶還提出以一次項系數(shù)除常數(shù)項為根的第二位數(shù)的試除法，這比西方最早的霍納方法早500多年。
元代天文學(xué)家王恂、郭守敬等在《授時歷》中解決了三次函數(shù)的內(nèi)插值問題。秦九韶在“綴術(shù)推星”題、朱世杰在《四元玉鑒》“如象招數(shù)”題都提到內(nèi)插法(他們稱為招差術(shù))，朱世杰得到一個四次函數(shù)的內(nèi)插公式。用天元(相當(dāng)于x)作為未知數(shù)符號，立出高次方程，古代稱為天元術(shù)，這是中國數(shù)學(xué)史上首次引入符號，并用符號運算來解決建立高次方程的問題。現(xiàn)存最早的天元術(shù)著作是李冶的《測圓海鏡》。
從天元術(shù)推廣到二元、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項杰出的創(chuàng)造。留傳至今，并對這一杰出創(chuàng)造進(jìn)行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》。
朱世杰的四元高次聯(lián)立方程組表示法是在天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，他把常數(shù)放在中央，四元的各次冪放在上、下、左、右四個方向上，其他各項放在四個象限中。朱世杰的最大貢獻(xiàn)是提出四元消元法，其方法是先擇一元為未知數(shù)，其他元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù)，列成若干個一元高次方程式，然后應(yīng)用互乘相消法逐步消去這一未知數(shù)。重復(fù)這一步驟便可消去其他未知數(shù)，最后用增乘開方法求解。這是線性方法組解法的重大發(fā)展，比西方同類方法早400多年。
勾股形解法在宋元時期有新的發(fā)展，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，補充了《九章算術(shù)》的不足。李冶在《測圓海鏡》對勾股容圓問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，得到九個容圓公式，大大豐富了中國古代幾何學(xué)的內(nèi)容。
已知黃道與赤道的夾角和太陽從冬至點向春分點運行的黃經(jīng)余弧，求赤經(jīng)余弧和赤緯度數(shù)，是一個解球面直角三角形的問題，傳統(tǒng)歷法都是用內(nèi)插法進(jìn)行計算。元代王恂、郭守敬等則用傳統(tǒng)的勾股形解法、沈括用會圓術(shù)和天元術(shù)解決了這個問題。不過他們得到的是一個近似公式，結(jié)果不夠精確。但他們的整個推算步驟是正確無誤的，從數(shù)學(xué)意義上講，這個方法開辟了通往球面三角法的途徑。中國古代計算技術(shù)改革的高潮也是出現(xiàn)在宋元時期。宋元明的歷史文獻(xiàn)中載有大量這個時期的實用算術(shù)書目，其數(shù)量遠(yuǎn)比唐代為多，改革的主要內(nèi)容仍是乘除法。與算法改革的同時，穿珠算盤在北宋可能已出現(xiàn)。但如果把現(xiàn)代珠算看成是既有穿珠算盤，又有一套完善的算法和口訣，那么應(yīng)該說它最后完成于元代。宋元數(shù)學(xué)的繁榮，是社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的必然結(jié)果，是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。此外，數(shù)學(xué)家們的科學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想也是十分重要的。宋元數(shù)學(xué)家都在不同程度上反對理學(xué)家的象數(shù)神秘主義。秦九韶雖曾主張數(shù)學(xué)與道學(xué)同出一源，但他后來認(rèn)識到，“通神明”的數(shù)學(xué)是不存在的，只有“經(jīng)世務(wù)類萬物”的數(shù)學(xué)莫若在《四元玉鑒》序文中提出的“用假象真，以虛問實”則代表了高度抽象思維的思想方法楊輝對縱橫圖結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，揭示出洛書的本質(zhì)，有力地批判了象數(shù)神秘主義。所有這些，無疑是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要因素。
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